Новый год или Новый Год
Правильно пишется — Новый год. В названиях значимых праздников заглавной буквой выделяется только первое слово. Но есть исключения, вроде Дня Победы, которые на новогоднее торжество не распространяются.
Под шафе или подшофе
Слово означает слегка подвыпившего человека, под хмельком. Прародителем его считается французское chauffe или «подогретый алкоголем». И верно пишется — подшофе.
Селедка под шубой или Сельдь под шубой
Оба названия верны, но «селёдка» — это просторечие, а «сельдь» — строчка в меню; официальная терминология. А вот верное написание блюда — салат «селедка под шубой». Оно указывается в кавычках и со строчной буквы. Но возможен еще один вариант — без кавычек: селедка под шубой — без слова-сопровождения «салат».
На брудершафт или на бруденшафт
Верным будет — брудершафт. Это немецкое слово brüderschaft, которое переводится как «братство». И обозначает ритуал, когда двое выпивают, сплетая особым образом руки.
Год Змеи или год Змеи
Поздравлять нужно с годом Змеи. Причем с годом Зеленой Деревянной Змеи. Все названия знаков зодиака и символов года пишутся с заглавных букв.

Дед Мороз или дед Мороз
Правильное имя новогоднего волшебника — Дед Мороз. Почему? Потому что его зовут не Мороз, а Дед Мороз. А все имена собственные всегда пишут только с «большой» буквы.
Килограмм мандаринов или мандарин
Правильно будет — килограмм мандаринов. Это касается и апельсинов, и помидоров. Но один — мандарин, апельсин, помидор.
Мои поздравления или поздравленья
Конечно, поздравления.
Пригубить шампанское или шампанского
Поскольку речь идет о напитке, то он употребляется с глаголом «пригубить» в родительном падеже. Т.е. «чего» — «шампанского». Например, пригубить вина, а не вино.
Лососевая или лососёвая икра
Верно звучит «лососёвая икра». И ударение делается при произношении на «ё».